Matemáticas II : 2014

viernes, 30 de mayo de 2014

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

Las medidas de tendencia central pueden ser para datos no agrupados y para datos agrupado.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados.

Media aritmética:

Es conocida tambien como promedio ya es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.

Dado un conjunto numérico de datos, x1, x2, ..., xn, se define su media aritmética como

$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$

Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas, esto es, también puede calcularse para variables agrupadas en intervalos.

Ejemplo para calcular media aritmetica

Las notas de cinco alumnos fueron:

6.0, 5.4,3.1,7.0 y 6.1

calcula la media aritmetica

niño nota

1 6,0 ·Primero, se suman las notas: 2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6 3 3,1 ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos: 4 7,0 27,6/5=5,52 5 6,1

2.- Media ponderada

La media ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación o peso y luego sumarlos, para obtener una suma ponderada. A continuación se divide la suma ponderada entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada

la media ponderada se calcula de la siguiente manera

$\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i w_i }{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{ x_1 w_1 + x_2 w_2 + x_3 w_3 + ... + x_n w_n }{w_1 + w_2 + w_3 + ... + w_n}$

Ejemplo de media ponderada

si las dos primeras pruebas tienen un peso de 30% y 20% respectivamente, mientras que la última prueba tiene un peso de 50% y las calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2, 8.1 entonces la nota final corresponde a la siguiente media ponderada:

Datos: $X = \{6.4, 9.2, 8.1\} \,$

Pesos: $W = \{0.30, 0.20, 0.50\} \,$

Media Ponderada: $\bar{x} = \frac{6.4\cdot 0.30 + 9.2\cdot 0.20 + 8.1\cdot 0.50}{0.30+0.20+0.50}= 7.81\,$

3.- Media geométrica

la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

$\bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$

Ejemplo:

La media geométrica de 2 y 18 es

$\sqrt[2]{2 \cdot 18} = \sqrt[2]{36} = 6$

4.- Media armonica

La media armónica', denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

${H} = {n \over { \sum_{i=1}^n{1 \over x_i}}} = {n \over ({1 \over x_1}+\cdots+{1 \over x_n})}$

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

Ejemplo:

Supongase que una familia realiza un viaje en automóvil a un ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad media realizada.

5.- Mediana

La mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Ejemplo:

Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla:

Calificaciones

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Número de alumnos

2

2

4

5

8

9

3

4

2

Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas $N_i$ . Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene $X (39+1) / 2 = X 20$ .

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.

6.- Moda

La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

$\frac{p}{c-p}=\frac{n_i-n_{i-1} }{n_i-n_{i+1} }$

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

$\gamma n_{i-1} \gamma n_{i+1}$

Ejemplo:

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

fi

[60, 63)

5

[63, 66)

18

[66, 69)

42

[69, 72)

27

[72, 75)

8

100

7.- Cuartil

Calificaciones	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Número de alumnos	2	2	4	5	8	9	3	4	2

	fi
[60, 63)	5
[63, 66)	18
[66, 69)	42
[69, 72)	27
[72, 75)	8
	100

Recuerde que, los Cuartiles, al igual que la Mediana y cualquier Cuantil, son Medidas de Posición, por lo tanto se debe calcular primero la Posición del Q2.

DATOS
N=94
se calcula la Posición del Q2

este valor se busca en la columna de las Frecuencias Acumuladas y se observa que cae en la Clase 5, en donde esta el 58, sobre esta columna. Recuerde que la Clase 5 contiene la cantidad de números que van de 38 a 58.
Esto indica que la Clase 5 es la referencia para tomar los datos que se sustituirán en la formula que permitirá calcular el Q2.
DATOS
LRIQ2=Limite Real Inferior de la Clase del Q2=49.5
FacumQ2 -1=Frecuencia Acumulada Anterior a la de la Clase del Q2.=37

FabsQ2=Frecuencia Absoluta donde esta el Q2.=21
AC=Ancho de Clase=8
N=94
La formula

Note que este ultimo valor es parte del intervalo de la Clase 5. Note también que el Valor del Cuartil dos es igual al Valor de la Mediana.
8.- Decil
Se calcula primero la posición de este cuantil.

Este valor cae en la Clase 5, en donde esta el 58 sobre la columna de la Frecuencia Acumulada. Al igual que en los casos anteriores, escogemos los datos tomando de referencia a esta Clase.
DATOS
LRID5=Limite Real Inferior de la Clase del D5=49.5
FacumD5 -1=Frecuencia Acumulada Anterior a la de la Clase del D5.=37

FabsD5=Frecuencia Absoluta donde esta el D5.=21
AC=Ancho de Clase=8
N=94
la formula del Decil 5 es

Se observa que este valor es parte del intervalo de la Clase 5.
Note también que el D5 es igual a la Mediana e igual al Cuartil 2. Esto es porque todos ellos indican la misma posición en en cualquier base de datos. Las medidas de posición anteriores también son iguales a el Porcentil 50, ya que indica exactamente la misma posición que aquellas.
Esto significa que podemos predecir, sin necesidad de realizar ningún calculo, que el valor del P50=53.31.

Medidas de tendencia central de datos agrupados

Existen diversas medidas de tendencia central para calcular y organizar datos agrupado o de población tales son:

1.- Frecuencia absoluta

Es el promedio de una suma predeterminada y además consiste en saber cual es el número o símbolo de mayor equivalencia. (ni) de una variable estadísticaXi, es el número de veces que este valor aparece en el estudio. A mayor tamaño de la muestra aumentará el tamaño de la frecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada (N).

2.- Frecuencia relativa

Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (N). Es decir,

$f_i = \frac{n_i}{N} = \frac{n_i}{\sum_i n_i}$

siendo el fi para todo el conjunto i. Se presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias.

Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (pi)

4.- marca de clase

Marca de clase: Es el punto medio de una clase y se obtiene sumando los límites inferiores (LIA) y superiores de una clase (LSA) y dividiendo el resultado entre dos. La marca de clase la denotaremos como MC. =2 LSA+ LIA/2
Donde:
M C = Marca de clase
LIA = Límite inferior aparente
LSA = Límite superior aparente
Ejemplo: De la siguiente tabla obtenga la marca de clase.

2 LSA LIA MC

5.- Se denomina rango estadístico (R) o recorrido estadístico al intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Por ejemplo, para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros, tendríamos:

$x_1=185, x_2=165, x_3=170, x_4=182, x_5=155$

lunes, 14 de abril de 2014

BLOQUE 6-7-8

TRIGONOMETRÍA.

La historia de la trigonometría comienza con los Babilónicos y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.

Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchasfunciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B

Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

EJEMPLOS

Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º <α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

Sabiendo que sec α = 2, 0< α <

/2, calcular las restantes razones trigonométricas.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función	Abreviatura	Equivalencias (en radianes)
Seno	sin (sen)	$\sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,$
Coseno	cos	$\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,$
Tangente	tan	$\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,$
Cotangente	ctg (cot)	$\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,$
Secante	sec	$\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,$
Cosecante	csc (cosec)	$\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,$

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

na identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

EJERCICIOS:

Ley del seno y coseno

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

$b 2 = a 2 + c 2 - 2ac * cos(B)$

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

PROBLEMA DE COSENO:

Este problema se resuelve precisamente por ley del coseno

a²= b²+c²-2bc*CosA

Por la información suministrada b= 3.317 metros c= 242.2 m A= 120º 41 min
Gráficamente entenderás que es así.

Además la respuesta es algo exagerada porque imaginate un triangulo con un lado de 3.3 unidades y otro de 242, necesariamente el tercer lado será exagerado en cuanto a su medida

Bueno quedaría

a²= (3.317 m)² + (242.2m)² - 2(3.317 m) (242.2m) (cos 120º 41 min)
a²= 11.002489 m² + 58660.84 m² - (-819.9153663 m²)

a²= 11.002489 m² + 58660.84 m² + 819.9153663 m²

a²= 59491.75786

a= 243.909323 metros

Por tanto la distancia pedida es 243.909323 metros

PROBLEMA DE SENO:

Un satelite que se encuentra en orbita esta a una distancia x del punto A y una distancia y del punto B; si la distancia entre el punto A y el punto B es igual a 35 metros y los angulos con la horizontal es de 35º para A y 25º para B, ¿Cual seria la distancia x y y?

Utilizando la ley de que un trinagulo la suma de sus tres lados debe ser igual a 180.

entonces A+B+C=180

C=180-25-35

C=120.

ahora aplicamos la ley del seno:

Sen C/c =Sen A/x
Sen120/35=Sen 35/x

haciendo el despeje

x=35. Sen 35 /120

x=23.18 metros

ahoa hallamos Y.

Sen B /y =senC/x

despejamos:

y= x . Sen B /Sen C

dandole valores nos queda.

y=11.31 metros.

viernes, 30 de mayo de 2014

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

Las medidas de tendencia central pueden ser para datos no agrupados y para datos agrupado.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados.

Media aritmética:

Media aritmética:

Es conocida tambien como promedio ya es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.

Dado un conjunto numérico de datos, x1, x2, ..., xn, se define su media aritmética como

Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas, esto es, también puede calcularse para variables agrupadas en intervalos.

Ejemplo para calcular media aritmetica

Las notas de cinco alumnos fueron:

6.0, 5.4,3.1,7.0 y 6.1

calcula la media aritmetica

niño nota

1 6,0 ·Primero, se suman las notas: 2 5,4 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 = 27,6 3 3,1 ·Luego el total se divide entre la cantidad de alumnos: 4 7,0 27,6/5=5,52 5 6,1

2.- Media ponderada

la media ponderada se calcula de la siguiente manera

Ejemplo de media ponderada

Ejemplo de media ponderada

si las dos primeras pruebas tienen un peso de 30% y 20% respectivamente, mientras que la última prueba tiene un peso de 50% y las calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2, 8.1 entonces la nota final corresponde a la siguiente media ponderada:

Datos:

Pesos:

Media Ponderada:

3.- Media geométrica

la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

4.- Media armonica

La media armónica', denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

Ejemplo:

Supongase que una familia realiza un viaje en automóvil a un ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad media realizada.

5.- Mediana

La mediana representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Ejemplo:

Calificaciones

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Número de alumnos

2

2

4

5

8

9

3

4

2

Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20

La moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

fi

[60, 63)

5

[63, 66)

18

[66, 69)

42

[69, 72)

27

[72, 75)

8

100

7.- Cuartil

Recuerde que, los Cuartiles, al igual que la Mediana y cualquier Cuantil, son Medidas de Posición, por lo tanto se debe calcular primero la Posición del Q2.DATOSN=94se calcula la Posición del Q2

Medidas de tendencia central de datos agrupados

siendo el fi para todo el conjunto i. Se presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias.

lunes, 14 de abril de 2014

BLOQUE 6-7-8

TRIGONOMETRÍA.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

EJEMPLOS

Datos: $X = \{6.4, 9.2, 8.1\} \,$

Pesos: $W = \{0.30, 0.20, 0.50\} \,$

Media Ponderada: $\bar{x} = \frac{6.4\cdot 0.30 + 9.2\cdot 0.20 + 8.1\cdot 0.50}{0.30+0.20+0.50}= 7.81\,$

Recuerde que, los Cuartiles, al igual que la Mediana y cualquier Cuantil, son Medidas de Posición, por lo tanto se debe calcular primero la Posición del Q2.

DATOS
N=94
se calcula la Posición del Q2