Matemáticas II

MATEMÁTICAS II

CONCEPTO DE ÁNGULO Y SUS TIPOS.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

A) Tipos de ángulos según su medida:

El ángulo agudo mide menos de 90°.

El recto mide 90°.

El obtuso es aquel que mide más de 90°.

El ángulo convexo mide menos de 180°.

El llano mide 180°.

El ángulo cóncavo es mayor de 180°.

B) Según su posición:

Los ángulos consecutivos poseen el mismo vértice y un lado en común

Los ángulos adyacentes, en cambio, conforman un ángulo llano ya que tienen un vértice y un lado en común y los otros lados ubicados uno en prolongación de otro.

Los ángulos opuestos por el vértice son los que comparten el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro.

De esta manera, los ángulos 1 y 3 son iguales, al igual que 2 y 4.

C) Clases de ángulos según su suma:

Hay dos clases de ángulos los complementarios que devienen de la sumatoria de dos ángulos cuyo resultado es de 90°:

Los ángulos suplementarios, en cambio, son el resultado de dos ángulos cuya sumatoria dé como resultado 180°

D) Ángulos entre paralelas y una recta transversal

En los ángulos correspondientes, como muestra la figura, b y f son iguales:

En los ángulos alternos internos, en cambio, α y β son iguales:

CONCEPTO Y TIPOS DE TRIÁNGULOS

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados
Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).
Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).


Equilátero	Isósceles	Escaleno

POR LA AMPLITUD DE SUS ÁNGULOS:

Triángulo rectángulo: si tiene un ÁNGULO INTERIOR recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

Triángulo	Postulados de congruencia
	Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
	Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
	Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Triángulo	Teoremas de congruencia
	Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencia de triángulos rectángulos

Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.
Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

Semejanza de triángulos

Criterio AA (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes.
Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanza de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:

Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro

TEOREMA DE PITÁGORAS

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Empleo del teorema de Pitágoras

Conociendo los lados de un triángulo, averiguar si es rectángulo

Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.

TEOREMA DE TALES

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

Teorema primero

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.